Cho \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}\ln x}}{a} – \frac{{{x^2}}}{b}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x.\ln x\) (\(a,b\) là hằng số). Tính \({a^2} – b\)?

Cho \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}\ln x}}{a} – \frac{{{x^2}}}{b}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x.\ln x\) (\(a,b\) là hằng số). Tính \({a^2} – b\)?

A. \(8\)

B. \(0\)

C. \(1\)

D. \(\frac{1}{2}\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là B

Phương pháp giải:

– \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) khi và chỉ khi \(F’\left( x \right) = f\left( x \right).\)

– Sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số.

Lời giải chi tiết:

TXĐ:\(D = \left( {0; + \infty } \right)\)

\(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}\ln x}}{a} – \frac{{{x^2}}}{b}\)là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\ln x\) nên\(F’\left( x \right) = f\left( x \right)\).

Ta có: \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}\ln x}}{a} – \frac{{{x^2}}}{b} = \frac{1}{a}\left( {{x^2}\ln x} \right) – \frac{1}{b}{x^2}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow F’\left( x \right) = \frac{1}{a}\left( {2x\ln x + {x^2}.\frac{1}{x}} \right) – \frac{{2x}}{b}\\ \Leftrightarrow F’\left( x \right) = \frac{1}{a}.2x\ln x + \frac{x}{a} – \frac{{2x}}{b} = \frac{2}{a}.x\ln x + \left( {\frac{1}{a} – \frac{2}{b}} \right)x\end{array}\)

Do \(F’\left( x \right) = f\left( x \right)\) nên đồng nhất hệ số ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{a} = 1\\\frac{1}{a} – \frac{2}{b} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 4\end{array} \right.\) .

Vậy \({a^2} – b = {2^2} – 4 = 0.\)

Chọn B.