by Cho dãy số $\left( {{a}_{n}} \right)$ xác định bởi ${{a}_{1}}=1,{{a}_{2}}=2$ và ${{a}_{n+2}}=\sqrt{3}.{{a}_{n+1}}-{{a}_{n}},\forall n\ge 1$. Tìm số nguyên dương $p$ nhỏ nhất sao cho ${{a}_{n+p}}={{a}_{n}},\forall n\in \mathbb{N}*$.
C. $p=9$.
B. $p=12$.
C. $p=24$.
D. $p=18$.
Hướng dẫn
Đáp án B.
Trước hết ta kiểm tra phương án với $p$nhỏ nhất. Viết 10 số hạng đầu tiên của $({{a}_{n}}):$
$\begin{align}
& {{a}_{1}}=1;{{a}_{1}}=2;{{a}_{3}}=2\sqrt{3}-1;{{a}_{4}}=4-\sqrt{3};{{a}_{5}}=2\sqrt{3}-2;{{a}_{6}}=2-\sqrt{3};{{a}_{7}}=-1; \\
& {{a}_{8}}=-2;{{a}_{9}}=1-2\sqrt{3};{{a}_{10}}=\sqrt{3}-4. \\
\end{align}$
Dễ dàng thấy ${{a}_{10}}=\sqrt{3}-4\ne 1={{a}_{1}}$ nên phương án A là sai.
Cách 1: Ta viết thêm 4 số hạng nữa của dãy $({{a}_{n}}):$ ta được
$\begin{align}
& ({{a}_{n}}):{{a}_{1}}=1;{{a}_{1}}=2;{{a}_{3}}=2\sqrt{3}-1;{{a}_{4}}=4-\sqrt{3};{{a}_{5}}=2\sqrt{3}-2;{{a}_{6}}=2-\sqrt{3};{{a}_{7}}=-1; \\
& {{a}_{8}}=-2;{{a}_{9}}=1-2\sqrt{3};{{a}_{10}}=\sqrt{3}-4;{{a}_{11}}=2-2\sqrt{3};{{a}_{12}}=\sqrt{3}-2;{{a}_{13}}=1;{{a}_{14}}=2. \\
\end{align}$
Từ đây ta dự đoán được ${{a}_{n+12}}={{a}_{n}},\forall n\ge 1.$
Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được ${{a}_{n+12}}={{a}_{n}},\forall n\ge 1.$ Vậy số nguyên dương cần tìm là $p=12.$
Cách 2: Sau khi viết 10 số hạng của dãy ta có thể đoán được ${{a}_{n+6}}=-{{a}_{n}},\forall n\ge 1.$
Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được rằng ${{a}_{n+6}}=-{{a}_{n}},\forall n\ge 1.$Như vậy 6 là số nguyên dương nhỏ nhất để ${{a}_{n+6}}=-{{a}_{n}},\forall n\ge 1.$ Do đó ${{a}_{n+12}}={{a}_{\left( n+6 \right)+6}}=-{{a}_{n+6}}={{a}_{n}},\forall n\ge 1.$
Suy ra số cần tìm là $p=12.$
