Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=8$ và biểu thức $4{{u}_{3}}+2{{u}_{2}}-15{{u}_{1}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính ${{S}_{10}}.$

Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=8$ và biểu thức $4{{u}_{3}}+2{{u}_{2}}-15{{u}_{1}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính ${{S}_{10}}.$

C. ${{S}_{10}}=\frac{2\left( {{4}^{11}}+1 \right)}{{{5.4}^{9}}}$

B. ${{S}_{10}}=\frac{2\left( {{4}^{10}}+1 \right)}{{{5.4}^{8}}}$

C. ${{S}_{10}}=\frac{{{2}^{10}}-1}{{{3.2}^{6}}}$

D. ${{S}_{10}}=\frac{{{2}^{11}}-1}{{{3.2}^{7}}}$

Hướng dẫn

Đáp án B

Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân. Khi đó

$4{{u}_{3}}+2{{u}_{2}}-15{{u}_{1}}=2{{\left( 4q+1 \right)}^{2}}-122\ge -122,\forall q.$

Dấu bằng xảy ra khi $4q+1=0$ $\Leftrightarrow q=-\frac{1}{4}.$

Suy ra: ${{S}_{10}}={{u}_{1}}.\frac{1-{{q}^{10}}}{1-q}=8.\frac{1-{{\left( -\frac{1}{4} \right)}^{10}}}{1-\left( -\frac{1}{4} \right)}=\frac{2\left( {{4}^{10}}-1 \right)}{{{5.4}^{8}}}$

Vậy phương án đúng là B