Tháng Ba 29, 2024

Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=2,$ công bội dương và biểu thức ${{u}_{4}}+\frac{1024}{{{u}_{7}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $S={{u}_{11}}+{{u}_{12}}+…+{{u}_{20}}.$

Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=2,$ công bội dương và biểu thức ${{u}_{4}}+\frac{1024}{{{u}_{7}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $S={{u}_{11}}+{{u}_{12}}+…+{{u}_{20}}.$

C. $S=2046.$

B. $S=2097150.$

C. $S=2095104.$

D. $S=1047552.$

Hướng dẫn

Đáp án C

Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân, $q>0.$

Ta có ${{u}_{4}}+\frac{1024}{{{u}_{7}}}=2{{q}^{3}}+\frac{512}{{{q}^{6}}}.$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

$2{{q}^{3}}+\frac{512}{{{q}^{6}}}={{q}^{3}}+{{q}^{3}}+\frac{512}{{{q}^{6}}}\ge 3\sqrt[3]{{{q}^{3}}.{{q}^{3}}.\frac{512}{{{q}^{6}}}}=24.$

Suy ra ${{u}_{4}}+\frac{1024}{{{u}_{7}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $24$ khi ${{q}^{3}}=\frac{512}{{{q}^{6}}}$ $\Leftrightarrow q=2.$

Ta có ${{S}_{10}}=\frac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{10}} \right)}{1-q}={{2}^{11}}-2;$ ${{S}_{10}}=\frac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{20}} \right)}{1-q}={{2}^{21}}-2.$

Do đó $S={{S}_{20}}-{{S}_{10}}=2095104.$ Vậy phương án đúng là C