Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{S}_{2}}=4$ và ${{S}_{3}}=13.$ Tìm ${{S}_{5}}.$

C. ${{S}_{5}}=121$ hoặc ${{S}_{5}}=\frac{181}{16}.$

B. ${{S}_{5}}=121$ hoặc ${{S}_{5}}=\frac{35}{16}.$

C. ${{S}_{5}}=114$ hoặc ${{S}_{5}}=\frac{185}{16}.$

D. ${{S}_{5}}=141$ hoặc ${{S}_{5}}=\frac{183}{16}.$

Hướng dẫn

Đáp án A

Ta có ${{u}_{3}}={{S}_{3}}-{{S}_{2}}=9$ $\Rightarrow {{u}_{1}}{{q}^{2}}=9\Rightarrow {{u}_{1}}=\frac{9}{{{q}^{2}}}$

Vì ${{S}_{2}}=4$ nên ${{u}_{1}}+{{u}_{1}}q=4.$ Do đó $\frac{9}{{{q}^{2}}}+\frac{9}{q}=4$

$\Leftrightarrow 4{{q}^{2}}-9q-9=0$ $\Leftrightarrow q=3$ hoặc $q=-\frac{3}{4}.$

+ Với $q=3$ thì ${{u}_{1}}=1,$ ${{u}_{6}}={{u}_{1}}{{q}^{5}}=243.$

Suy ra ${{S}_{5}}=\frac{{{u}_{1}}-{{u}_{6}}}{1-q}=\frac{1-243}{1-3}=121.$

+ Với $q=-\frac{3}{4}$ thì ${{u}_{1}}=16,$ ${{u}_{6}}=-\frac{243}{64}.$

Suy ra ${{S}_{5}}=\frac{{{u}_{1}}-{{u}_{6}}}{1-q}=\frac{181}{16}.$

Vậy phương án đúng là A