by Cho các số a, b, c thỏa mãn: \(3\left( {a + b} \right) = 2\left( {b + c} \right) = 7\left( {c + a} \right)\)
Chứng minh rằng: \(\frac{{c – a}}{7} = \frac{{b – c}}{8}.\)
Phương pháp giải:
Từ kết quả \(\frac{{c – a}}{7} = \frac{{b – c}}{8}\) ta biến đổi được \(8a + 7b = 15c\). Từ giả thiết ta tìm cách để biến đổi được thành kết quả đó là có được cách chứng minh.
Ta có:
\(3\left( {a + b} \right) = 2\left( {b + c} \right) \Leftrightarrow 3a + 3b = 2b + 2c \Leftrightarrow 3a + b = 2c \Leftrightarrow 12a + 4b = 8c\) (1)
\(3\left( {a + b} \right) = 7\left( {c + a} \right) \Leftrightarrow 3a + 3b = 7c + 7a \Leftrightarrow – 4a + 3b = 7c\) (2)
Cộng lần lượt hai vế của (1) và (2) với nhau ta được:
\(8a + 7b = 15c \Leftrightarrow 8a + 7b = 8c + 7c \Leftrightarrow 8c – 8a = 7b – 7c\)
\( \Leftrightarrow 8\left( {c – a} \right) = 7\left( {b – c} \right) \Leftrightarrow \frac{{c – a}}{7} = \frac{{b – c}}{8}\) (đpcm)
