by Cho biểu thức \(A = \frac{{x – 1}}{{\left( {x + \sqrt x } \right)\left( {x – \sqrt x + 1} \right)}}:\frac{1}{{{x^2} + \sqrt x }}\)
1. Rút gọn A 2. Tìm x sao cho \(A\left( {\sqrt x + 1} \right) > 0\)
A 1,\(A = x – 1\).
2, \(x > 1.\)
B 1,\(A = x – 1\).
2, \(x < 1.\)
C 1,\(A = x – 2\).
2, \(x > 1.\)
D 1,\(A = x – 3\).
2, \(x > 1.\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: A
Phương pháp giải:
1. Sử dụng hằng đẳng thức, phân tích thành nhân tử và rút gọn.
2. \(f\left( x \right).g\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) > 0\\g\left( x \right) > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) < 0\\g\left( x \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
1. Rút gọn biểu thức A
ĐK \(x > 0\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}A = \frac{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x – \sqrt x + 1} \right)}}:\frac{1}{{\sqrt x \left( {x\sqrt x + 1} \right)}}\\A = \frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x \left( {x – \sqrt x + 1} \right)}}.\sqrt x \left( {x\sqrt x + 1} \right)\\A = \frac{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {x\sqrt x + 1} \right)}}{{x – \sqrt x + 1}}\\A = \frac{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x – \sqrt x + 1} \right)}}{{x – \sqrt x + 1}}\\A = \left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right) = x – 1\end{array}\)
Vậy \(A = x – 1\).
2. Ta có :
\(\begin{array}{l}A\left( {\sqrt x + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right) > 0\\Do\,\,\sqrt x + 1 > 0 \Rightarrow x – 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\end{array}\)
Vậy \(x > 1.\)
