by Cho ba vật dao động điều hòa cùng biên độ A = 10 cm nhưng tần số khác nhau. Biết rằng tại mọi thời điểm li độ, vận tốc của vật liên hệ với nhau biểu thức \(\frac{x_1}{v_1} + \frac{x_2}{v_2}= \frac{x_3}{v_3}\). Tại thời điểm t, các vật cách vị trí cần bằng của chúng lần lượt là 6 cm, 8 cm và x3. Giá trị x3 gần giá trị nào nhất
A. 7,8 cm
B. 9 cm
C. 8,7 cm
D. 8,5 cm
Hướng dẫn
Ta có:
\(x^2 + \frac{v^2}{\omega ^2}= A^2 \Rightarrow v= \omega \sqrt{A^2 – x^2}\)
\(\leftarrow \frac{x}{\omega \sqrt{A^2 – x^2}} = \frac{1}{\omega \sqrt{\frac{A^2}{X^2} – 1}}\)
Lấy đạo hàm của \(\frac{x}{v}\) theo t, chú ý A và \(\omega\) là hằng số
\((\frac{x}{v})’ = (\frac{1}{\omega \sqrt{\frac{A^2}{x^2} – 1}}) = \frac{1}{\omega}\left [ \frac{- (\sqrt{\frac{A^2}{x^2} – 1})’}{(\frac{A^2}{x^2} – 1)} \right ]\)
\(= \frac{1}{\omega }\left [ \frac{- (\frac{A^2}{x^2} – 1)’}{(\frac{A^2}{X^2} – 1. 2 \sqrt{\frac{A^2}{x^2} – 1})} \right ]\)
\(= \frac{\frac{A^2x’}{x^3}}{\omega (\frac{A^2}{x^2} – 1). \sqrt{\frac{A^2}{x^2} – 1}}\)
\(\Leftrightarrow (\frac{x}{v})’ = \frac{A^2v}{\omega x^3(\frac{A^2}{x^2} – 1). \sqrt{\frac{A^2}{x^2} – 1}}\)
\(= \frac{A^2\omega \sqrt{A^2 – x^2}}{\omega (A^2 – x^2). \sqrt{A^2 – x^2}} = \frac{A^2}{A^2 – x^2}\)
Tương tự như trên ta lấy đạo hàm theo t hai vế phương trình
\((\frac{x_1}{v_1} + \frac{x_2}{v_2})’ = (\frac{x_2}{v_3})’ \Leftrightarrow (\frac{x_1}{v_1} )’ + (\frac{x_2}{v_2})’ = (\frac{x_3}{v_3})’\)
\(\rightarrow \frac{A^2}{A^2 – x_1^2} + \frac{A^2}{A^2 – x_2^2} = \frac{A^2}{A^2 – x_3^2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{A^2 – x_1^2} + \frac{1}{A^2 – x_2^2} = \frac{1}{A^2 – x_3^2}\)
Thay số vào ta được
\(\frac{1}{10^2 – 6^2} + \frac{1}{10^2 – 8^2} = \frac{1}{10^2 – x_3^2}\Rightarrow x_3 = \sqrt{10^2 – \frac{6^2.8^2}{6^2 + 8^2}}\approx 8,77 cm\)
