by Cho đoạn mạch RLC với $\frac{L}{C}={{R}^{2}}$đặt vào hai đầu đoạn mạch trên điện áp xoay chiều với điện áp hiệu dụng không đổi, $\omega $ thay đổi được). Khi $\omega ={{\omega }_{1}}$ và $\omega ={{\omega }_{2}}=9{{\omega }_{1}}$ thì mạch có cùng hệ số công suất và bằng
A. $\frac{3}{\sqrt{73}}$
B. $\frac{2}{\sqrt{13}}$
C. $\frac{2}{\sqrt{21}}$
D. $\frac{4}{\sqrt{67}}$
Hướng dẫn
Khi $\omega ={{\omega }_{1}}$ và $\omega ={{\omega }_{2}}$ mạch có chung hệ số công suất: $\cos \varphi =\frac{R}{{{Z}_{1}}}=\frac{R}{{{Z}_{2}}}$$\to {{Z}_{1}}={{Z}_{2}}$ ${{R}^{2}}+{{\left( {{\omega }_{1}}L-\frac{1}{{{\omega }_{1}}C} \right)}^{2}}={{R}^{2}}+{{\left( {{\omega }_{2}}L-\frac{1}{{{\omega }_{2}}C} \right)}^{2}}$ $\xrightarrow{{{\omega }_{2}}>{{\omega }_{1}}}{{\omega }_{2}}L-\frac{1}{{{\omega }_{2}}C}=\frac{1}{{{\omega }_{1}}C}-{{\omega }_{1}}L\to {{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}=\frac{1}{LC}$ (*)
Bài cho ${{\omega }_{2}}=n. {{\omega }_{1}}$ (với n = 9)$\to $ $\omega _{1}^{2}=\frac{1}{n. LC}\to n{{\text{Z}}_{L1}}={{Z}_{C1}}$ mà ${{R}^{2}}=\frac{L}{C}={{Z}_{L1}}. {{Z}_{C1}}=n\text{Z}_{L1}^{2}\to R=\sqrt{n}\text{. }{{\text{Z}}_{L1}}$
Vậy $\cos \varphi =\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L1}}-{{Z}_{C1}} \right)}^{2}}}}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+{{\left( 1-n \right)}^{2}}}}=\frac{3}{\sqrt{73}}$
