by Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của góc nhọn \(\alpha \).
a) \({\left( {\cos \alpha – \sin \alpha } \right)^2} + {\left( {\cos \alpha + \sin \alpha } \right)^2}\)
b) \(\frac{{{{(c{\rm{os}}\alpha – \sin \alpha )}^2} – {{(c{\rm{os}}\alpha + \sin \alpha )}^2}}}{{c{\rm{os}}\alpha .\sin \alpha }}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức lượng giác: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)
Sử dụng hằng đẳng thức.
Lời giải chi tiết:
a) \({\left( {\cos \alpha – {\rm{sin}}\alpha } \right)^2} + {\left( {\cos \alpha – {\rm{sin}}\alpha } \right)^2}\)
\(\begin{array}{l}{\left( {\cos \alpha – {\rm{sin}}\alpha } \right)^2} + {\left( {\cos \alpha + {\rm{sin}}\alpha } \right)^2}\\ = {\cos ^2}\alpha – 2{\rm{sin}}\alpha .\cos \alpha + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha + 2{\rm{sin}}\alpha \cos \alpha + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha \\ = 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha + 2{\cos ^2}\alpha = 2\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right) = 2.1 = 2.\end{array}\)
Vậy giá trị của các biểu thức trên không phụ thuộc vào giá trị của góc nhọn \(\alpha \).
b. \(\frac{{{{\left( {\cos \alpha – \sin \alpha } \right)}^2} – {{\left( {\cos \alpha + \sin \alpha } \right)}^2}}}{{\cos \alpha .\sin \alpha }}\)
\(\begin{array}{l}\frac{{{{\left( {\cos \alpha – \sin \alpha } \right)}^2} – {{\left( {\cos \alpha + \sin \alpha } \right)}^2}}}{{\cos \alpha .\sin \alpha }}\\ = \frac{{{{\cos }^2}\alpha – 2\sin \alpha .\cos \alpha + {{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha – 2\sin \alpha \cos \alpha – {{\sin }^2}\alpha }}{{\cos \alpha .\sin \alpha }}\\ = \frac{{ – 4\sin \alpha \cos \alpha }}{{\cos \alpha .\sin \alpha }} = – 4.\end{array}\)
Vậy giá trị của các biểu thức trên không phụ thuộc vào giá trị của góc nhọn \(\alpha \).
