by Biết số phức z thỏa mãn điều kiện \(\frac{{5\left( {\overline z + i} \right)}}{{z + 1}} = 2 – i\). Mô đun số phức \({\rm{w}} = 1 + z + {z^2}\) bằng
A. \(13.\)
B. \(2.\)
C. \(\sqrt {13} .\)
D. \(\sqrt 2. \)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
– Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a – bi\).
– Thay vào biểu thức, nhân chéo sau đó tìm \(a,\,\,b\).
– Suy ra số phức \(z\) và tính \({\rm{w}} = 1 + z + {z^2}\).
Lời giải chi tiết:
Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a – bi\).
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\frac{{5\left( {\overline z + i} \right)}}{{z + 1}} = 2 – i\\ \Rightarrow \frac{{5\left( {a – bi + i} \right)}}{{a + bi + 1}} = 2 – i\\ \Leftrightarrow 5\left[ {a – \left( {b – 1} \right)i} \right] = \left( {a + 1 + bi} \right)\left( {2 – i} \right)\\ \Leftrightarrow 5a – 5\left( {b – 1} \right)i = 2\left( {a + 1} \right) + b + \left( {2b – a – 1} \right)i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5a = 2a + 2 + b\\5 – 5b = 2b – a – 1\end{array} \right. \Rightarrow a = b = 1\\ \Rightarrow z = 1 + i \Rightarrow {z^2} = 2i\\ \Rightarrow {\rm{w}} = 1 + z + {z^2} = 1 + 1 + i + 2i = 2 + 3i\end{array}\)
Vậy \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} .\)
Chọn C.
