Biết rằng mọi số nguyên dương $n$, ta có $1.2+2.3+…+n\left( n+1 \right)={{a}_{1}}{{n}^{3}}+{{b}_{1}}{{n}^{2}}+{{c}_{1}}n+{{d}_{1}}$ và $1.2+2.5+3.8+…+n\left( 3n-1 \right)={{a}_{2}}{{n}^{3}}+{{b}_{2}}{{n}^{2}}+{{c}_{2}}n+{{d}_{2}}$. Tính giá trị biểu thức $T={{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}}+{{c}_{1}}{{c}_{2}}+{{d}_{1}}{{d}_{2}}$.

Biết rằng mọi số nguyên dương $n$, ta có $1.2+2.3+…+n\left( n+1 \right)={{a}_{1}}{{n}^{3}}+{{b}_{1}}{{n}^{2}}+{{c}_{1}}n+{{d}_{1}}$ và $1.2+2.5+3.8+…+n\left( 3n-1 \right)={{a}_{2}}{{n}^{3}}+{{b}_{2}}{{n}^{2}}+{{c}_{2}}n+{{d}_{2}}$. Tính giá trị biểu thức $T={{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}}+{{c}_{1}}{{c}_{2}}+{{d}_{1}}{{d}_{2}}$.

C. $T=2$.

B. $T=1$.

C. $M=\frac{4}{3}$.

D. $T=\frac{2}{3}$.

Hướng dẫn

Đáp án C.

Cách 1: Sử dụng các tổng lũy thừa bậc 1 và bậc 2 ta có:

+) $1.2+2.3+…+n\left( n+1 \right)=\left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}}+…+{{n}^{2}} \right)+\left( 1+2+…+n \right)=\frac{1}{3}{{n}^{3}}+{{n}^{2}}+\frac{2}{3}n$.

Suy ra ${{a}_{1}}=\frac{1}{3};{{b}_{1}}=1;{{c}_{1}}=\frac{2}{3};{{d}_{1}}=0$.

+) $1.2+2.5+3.8+…+n\left( 3n-1 \right)=3\left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}}+…+{{n}^{2}} \right)-\left( 1+2+…+n \right)={{n}^{3}}+{{n}^{2}}.$

Suy ra ${{a}_{2}}={{b}_{2}}=1;{{c}_{2}}={{d}_{2}}=0$.

Do đó $T={{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}}+{{c}_{1}}{{c}_{2}}+{{d}_{1}}{{d}_{2}}=\frac{4}{3}$.

Cách 2: Cho $n=1,n=2,n=3,n=4$ và sử dụng phương pháp hệ số bất đinh ta cũng tìm được ${{a}_{1}}=\frac{1}{3};{{b}_{1}}=1;{{c}_{1}}=\frac{2}{3};{{d}_{1}}=0$; ${{a}_{2}}={{b}_{2}}=1;{{c}_{2}}={{d}_{2}}=0$.

Do đó $T={{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}}+{{c}_{1}}{{c}_{2}}+{{d}_{1}}{{d}_{2}}=\frac{4}{3}$.