by Biết \(\int\limits_{0}^{1}{3{{e}^{\sqrt{3x+1}}}dx}=\frac{a}{5}{{e}^{2}}+\frac{b}{3}e+c\,\,\left( a,b,c\in Q \right)\) . Tính \(P=a+b+C\)
A.
P = 18
B.
P = 10
C.
P = 3
D. P = 12
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
Đặt \(t=\sqrt{3x+1}\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(t=\sqrt{3x+1}\Leftrightarrow {{t}^{2}}=3x+1\Leftrightarrow 2tdt=3dx\)
Đổi cận \(\left\{ \begin{align} x=0\Leftrightarrow t=1 \\ x=1\Leftrightarrow t=2 \\ \end{align} \right.\), khi đó ta có: \(\int\limits_{0}^{1}{3{{e}^{\sqrt{3x+1}}}dx}=\int\limits_{1}^{2}{{{e}^{t}}.2tdt}=2\int\limits_{1}^{2}{t{{e}^{t}}dt}\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = t\\dv = {e^t}dt\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dt\\v = {e^t}\end{array} \right. \Rightarrow 2\int\limits_1^2 {t{e^t}dt} = 2\left( {\left. {t{e^t}} \right|_1^2 – \int\limits_1^2 {{e^t}dt} } \right) = 2\left( {\left. {t{e^t}} \right|_1^2 – \left. {{e^t}} \right|_1^2} \right) = 2\left( {2{e^2} – e – \left( {{e^2} – e} \right)} \right) = 2{e^2}\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} a=10 \\ b=c=0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow P=a+b+c=10\)
Chọn B.
