by Biết đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x + 3} + ax + b}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\) không có đường tiệm cận đứng nào. Tính \(T = a – 3b.\)
A. \(T = 6.\)
B. \(T = 4.\)
C. \(T = 3.\)
D. \(T = 5.\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
Đặt ẩn phụ\(t = \sqrt {x + 3} \), đưa hàm số về dạng bậc hai trên bậc hai rồi biện luận.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(y = \frac{{\sqrt {x + 3} + ax + b}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\)
Đặt \(\sqrt {x + 3} = t \Rightarrow x = {t^2} – 3\)
Khi đó \(y = \frac{{a\left( {{t^2} – 3} \right) + t + b}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\)
Để hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x + 3} + ax + b}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\) không có tiệm cận đứng thì phương trình \(a\left( {{t^2} – 3} \right) + t + b = 0 \Leftrightarrow a{t^2} + t – 3a + b = 0\) có nghiệm kép \(t = 2\) (ứng với \(x = 1\)).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta = 1 – 4a\left( {b – 3a} \right) = 0\\ – \frac{1}{{2a}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – \frac{1}{4}\\b = – \frac{7}{4}\end{array} \right.\).
Vậy \(T = a – 3b = – \frac{1}{4} – 3.\frac{{ – 7}}{4} = 5.\)
Chọn D.
