Biến đổi \(\int\limits_0^3 {{x \over {1 + \sqrt {1 + x} }}dx} \) thành \(\int\limits_1^2 {f\left( t \right)dt} \) , với \(t = \sqrt {1 + x} \). Khi đó \(f\left( t \right)\) là hàm số nào trong các hàm số sau đây?

Biến đổi \(\int\limits_0^3 {{x \over {1 + \sqrt {1 + x} }}dx} \) thành \(\int\limits_1^2 {f\left( t \right)dt} \) , với \(t = \sqrt {1 + x} \). Khi đó \(f\left( t \right)\) là hàm số nào trong các hàm số sau đây?

A. \(f\left( t \right) = 2{t^2} – 2t\)

B. \(f\left( t \right) = {t^2} + t\)

C. \(f\left( t \right) = {t^2} – t\)

D. \(f\left( t \right) = 2{t^2} + 2t\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là A

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sqrt {1 + x} \)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt {1 + x} \Leftrightarrow {t^2} = 1 + x \Leftrightarrow 2tdt = dx\) và \(x = {t^2} – 1\), đổi cận \(\left\{ \matrix{ x = 0 \Rightarrow t = 1 \hfill \cr x = 3 \Rightarrow t = 2 \hfill \cr} \right.\), khi đó ta có: \(I = \int\limits_1^2 {{{{t^2} – 1} \over {1 + t}}2tdt} = \int\limits_1^2 {2t\left( {t – 1} \right)dt} = \int\limits_1^2 {\left( {2{t^2} – 2t} \right)dt} \Rightarrow f\left( t \right) = 2{t^2} – 2t\).

Chọn A.