: Xác định hệ số của ${{x}^{4}}$ trong khai triển sau: $f(x)={{(3{{x}^{2}}+2x+1)}^{10}}$.

: Xác định hệ số của ${{x}^{4}}$ trong khai triển sau: $f(x)={{(3{{x}^{2}}+2x+1)}^{10}}$.

C. 8089

B. 8085

C. 1303

D. 11312

Hướng dẫn

Chọn B

$f\left( x \right)={{\left( 1+2x+3{{x}^{2}} \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}{{\left( 2x+3{{x}^{2}} \right)}^{k}}$

$=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}\sum\limits_{i=0}^{k}{C_{k}^{i}}{{(2x)}^{k-i}}.{{(3{{x}^{2}})}^{i}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}\sum\limits_{i=0}^{k}{C_{k}^{i}}{{2}^{k-i}}{{.3}^{i}}{{x}^{k+i}}$

với$0\le i\le k\le 10$.

Do đó $k+i=4$ với các trường hợp $i=0,k=4$ hoặc $i=1,k=3$ hoặc $i=k=2$.

Vậy hệ số chứa ${{x}^{4}}$: ${{2}^{4}}C_{10}^{4}.C_{4}^{0}+{{2}^{2}}{{3}^{1}}C_{10}^{3}.C_{3}^{1}+{{3}^{2}}C_{10}^{2}.C_{2}^{2}=8085$.