by : Với n là số nguyên dương, gọi ${{a}_{3n-3}}$ là hệ số của ${{x}^{3n-3}}$ trong khai triển thành đa thức của ${{({{x}^{2}}+1)}^{n}}{{(x+2)}^{n}}$. Tìm $n$ để ${{a}_{3n-3}}=26n$
C. n=5
B. n=4
C. n=3
D. n=2
Hướng dẫn
Chọn A
Cách 1:Ta có :
$\begin{align}
{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{n}}=C_{n}^{0}{{x}^{2n}}+C_{n}^{1}{{x}^{2n-2}}+C_{n}^{2}{{x}^{2n-4}}+…+C_{n}^{n} \\
{{\left( x+2 \right)}^{n}}=C_{n}^{0}{{x}^{n}}+2C_{n}^{1}{{x}^{n-1}}+{{2}^{2}}C_{n}^{2}{{x}^{n-2}}+…+{{2}^{n}}C_{n}^{n} \\
\end{align}$
Dễ dàng kiểm tra $n=1$, $n=2$ không thoả mãn điều kiện bài toán.
Với $n\ge 3$ thì dựa vào khai triển ta chỉ có thể phân tích
${{x}^{3n-3}}={{x}^{2n}}.{{x}^{n-3}}={{x}^{2n-2}}.{{x}^{n-1}}$
Do đó hệ số của ${{x}^{3n-3}}$ trong khai triển thành đa thức của
${{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{n}}{{\left( x+2 \right)}^{n}}$ là : ${{a}_{3n-3}}={{2}^{3}}.C_{n}^{0}.C_{n}^{3}+2.C_{n}^{1}.C_{n}^{1}$.
Suy ra ${{a}_{3n-3}}=26n\Leftrightarrow \frac{2n\left( 2{{n}^{2}}-3n+4 \right)}{3}=26n\Leftrightarrow n=-\frac{7}{2}$ hoặc$n=5$
Vậy $n=5$ là giá trị cần tìm.
Cách 2:
Ta có: ${{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{n}}{{\left( x+2 \right)}^{n}}={{x}^{3n}}{{\left( 1+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{n}}{{\left( 1+\frac{2}{x} \right)}^{n}}$
$={{x}^{3n}}\sum\limits_{i=0}^{n}{C_{n}^{i}{{\left( \frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{i}}\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{\left( \frac{2}{x} \right)}^{k}}}=}{{x}^{3n}}\left[ \sum\limits_{i=0}^{n}{C_{n}^{i}{{x}^{-2i}}\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{-k}}}} \right]$
Trong khai triển trên, luỹ thừa của $x$ là $3n-3$ khi
$-2i-k=-3\Leftrightarrow 2i+k=3$.
Ta chỉ có hai trường hợp thoả mãn điều kiện này là $i=0,k=3$ hoặc
$i=1,k=1$(vì $i,k$ nguyên).
Hệ số của ${{x}^{3n-3}}$ trong khai triển thành đa thức của ${{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{n}}{{\left( x+2 \right)}^{n}}$
Là :${{a}_{3n-3}}=C_{n}^{0}.C_{n}^{3}{{.2}^{3}}+C_{n}^{1}.C_{n}^{1}.2$.
Do đó ${{a}_{3n-3}}=26n\Leftrightarrow \frac{2n\left( 2{{n}^{2}}-3n+4 \right)}{3}=26n\Leftrightarrow n=-\frac{7}{2}$hoặc$n=5$
Vậy $n=5$ là giá trị cần tìm.
