Với mọi số nguyên dương $n\ge 2$, ta có: $\left( 1-\frac{1}{4} \right)\left( 1-\frac{1}{9} \right)…\left( 1-\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)=\frac{an+2}{bn+4}$, trong đó $a,b$ là các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức $T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$.

Với mọi số nguyên dương $n\ge 2$, ta có: $\left( 1-\frac{1}{4} \right)\left( 1-\frac{1}{9} \right)…\left( 1-\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)=\frac{an+2}{bn+4}$, trong đó $a,b$ là các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức $T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$.

C. $P=5$.

B. $P=9$.

C. $P=20$.

D. $P=36$.

Hướng dẫn

Đáp án C.

Cách 1: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có: $1-\frac{1}{{{k}^{2}}}=\frac{k-1}{k}.\frac{k+1}{k}$. Suy ra $\left( 1-\frac{1}{4} \right)\left( 1-\frac{1}{9} \right)…\left( 1-\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)$ $=\frac{1}{2}.\frac{3}{2}.\frac{2}{3}.\frac{4}{3}…\frac{n-1}{n}.\frac{n+1}{2n}=\frac{n+1}{2n}=\frac{2n+2}{4n}$.

Đối chiếu với đẳng thức đã cho ta có: $a=2,b=4$. Suy ra $P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=20$.

Cách 2: Cho $n=2,n=3$ ta được $\frac{a+1}{b}=\frac{3}{4};\frac{3a+2}{3b}=\frac{2}{3}$. Giải hệ phương trình trren ta được $a=2;b=4$. Suy ra $P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=20$.