Với \(a = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{4{{\sin }^3}x} \over {1 + \cos x}}dx} ;b = \int\limits_{{\pi \over 2}}^{{\pi \over 3}} {\left( {\sin 2x + \cos x} \right)dx} \). Tính giá trị của biểu thức \(P = a + 2b\sqrt 3 \) có dạng \({{m – n\sqrt 3 } \over 2}\), khi đó \(m – n = ?\)

Với \(a = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{4{{\sin }^3}x} \over {1 + \cos x}}dx} ;b = \int\limits_{{\pi \over 2}}^{{\pi \over 3}} {\left( {\sin 2x + \cos x} \right)dx} \). Tính giá trị của biểu thức \(P = a + 2b\sqrt 3 \) có dạng \({{m – n\sqrt 3 } \over 2}\), khi đó \(m – n = ?\)

A. \(2 + \sqrt 3 \)

B. 5

C. \(4 – 2\sqrt 3 \)

D. 2

Hướng dẫn

Chọn đáp án là B

Phương pháp giải:

Tính a: Tách \({\sin ^3}x = \left( {1 – {{\cos }^2}x} \right)\sin x\) sau đó đặt \(t = \cos x\)

Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tính b

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{ & a = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{4{{\sin }^3}x} \over {1 + \cos x}}dx} = 4\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\left( {1 – {{\cos }^2}x} \right)\sin x} \over {1 + \cos x}}dx} = 4\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {\left( {1 – \cos x} \right)\sin xdx} = – 4\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {\left( {1 – \cos x} \right)d\left( {\cos x} \right)} \cr & \,\,\, = – \left. {4\left( {\cos x – {{{{\cos }^2}x} \over 2}} \right)} \right|_0^{{\pi \over 2}} = 2 \cr & b = \int\limits_{{\pi \over 2}}^{{\pi \over 3}} {\left( {\sin 2x + \cos x} \right)dx} = \left. {\left( { – {{\cos 2x} \over 2} + \sin x} \right)} \right|_{{\pi \over 2}}^{{\pi \over 3}} = {{1 + 2\sqrt 3 } \over 4} – {3 \over 2} = {{2\sqrt 3 – 5} \over 4} \cr & \Rightarrow P = a + 2b\sqrt 3 = {{10 – 5\sqrt 3 } \over 2} \Rightarrow \left\{ \matrix{ m = 10 \hfill \cr n = 5 \hfill \cr} \right. \Rightarrow m – n = 5 \cr} \)

Chọn B.