by Trong tập các số phức, gọi \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là hai nghiệm của phương trình \({{z}^{2}}-z+\frac{2017}{4}=0\) với \({{z}_{2}}\) có thành phần ảo dương. Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z-{{z}_{1}} \right|=1.\) Giá trị nhỏ nhất của \(P=\left| z-{{z}_{2}} \right|\) là
A. \(\sqrt{2016}-1.\)
B. \(\frac{\sqrt{2017}-1}{2}.\)
C. \(\frac{\sqrt{2016}-1}{2}.\)
D. \(\sqrt{2017}-1.\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
Giả sử\(z=a+bi\,\,\left( a,b\in \mathbb{R} \right).\) Giả phương trình ban đầu để tìm được nghiệm \({{z}_{1}},{{z}_{2}}.\) Sử dụng giả thiết để đánh giá cho cho \(b.\) Đưa \({{\left| z-{{z}_{2}} \right|}^{2}}\) về một hàm cho \(b\) và sử dụng ước lượng cho \(b\) ở phần trước để tìm giá trị nhỏ nhất của \(P.\)
Lời giải chi tiết:
Tính toán ta tìm được hai nghiệm \({{z}_{1}}=\frac{1-i\sqrt{2016}}{2},{{z}_{2}}=\frac{1+i\sqrt{2016}}{2}.\)
Giả sử \(z=a+bi\left( a,b\in R \right).\) Từ \(\left| z-{{z}_{1}} \right|=1\) ta suy ra
\(\begin{align} & \,\,\,\,\left| \left( a+bi \right)-\frac{1-i\sqrt{2016}}{2} \right|=1\Leftrightarrow 1={{\left( a-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( b+\frac{\sqrt{2016}}{2} \right)}^{2}}\Rightarrow {{\left( b+\frac{\sqrt{2016}}{2} \right)}^{2}}\le 1 \\ & \Rightarrow -1-\frac{\sqrt{2016}}{2}\le b\le 1-\frac{\sqrt{2016}}{2}\,\,\left( 1 \right). \\ \end{align}\)
Áp dụng \(\left( 1 \right)\) ta nhận được
\(\begin{array}{l}
{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\left| {z – {z_2}} \right|^2} = {\left| {\left( {a + bi} \right) – \frac{{1 + i\sqrt {2016} }}{2}} \right|^2} = {\left( {a – \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {b – \frac{{\sqrt {2016} }}{2}} \right)^2}\\
= {\left( {a – \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {b + \frac{{\sqrt {2016} }}{2}} \right)^2} – 4b\frac{{\sqrt {2016} }}{2} = 1 – 2b\sqrt {2016} \\
\ge 1 – 2\left( {1 – \frac{{\sqrt {2016} }}{2}} \right)\sqrt {2016} = 1 – 2\sqrt {2016} + 2016 = {\left( {\sqrt {2016} – 1} \right)^2}.
\end{array}\)
Do đó giá trị nhỏ nhất của \(P=\left| z-{{z}_{2}} \right|\) là \(\sqrt{2016}-1.\)
Đạt được khi và chỉ khi
\(b=1-\frac{\sqrt{2016}}{2},a=\frac{1}{2}.\)
Chọn đáp án A.
