by Trong mặt phẳng tọa độ$Oxy$, cho đường thẳng có phương trình $d:y=2$, và hai điểm $A\left( 1;3 \right);$ $B\left( 3;-4 \right)$. Lấy $M$ trên $d$, $N$ trên trục hoành sao cho $MN$ vuông góc với $d$ và $AM+MN+NB$ nhỏ nhất. Tìm tọa độ $M$, $N$?
C. $M\left( \frac{6}{5};2 \right),N\left( \frac{6}{5};0 \right)$ .
B. $M\left( \frac{7}{5};2 \right),N\left( \frac{7}{5};0 \right)$.
C. $M\left( \frac{8}{5};2 \right),N\left( \frac{8}{5};0 \right)$.
D. $M\left( \frac{9}{5};2 \right),N\left( \frac{9}{5};0 \right)$.
Hướng dẫn
Đáp án B.
Cách 1 : Thử các tọa độ $M,\,N$ ta được kết quả $AM+MN+NB$ nhỏ nhất với $M\in d,\,N\in Ox$ và $MN\bot d$.
Cách 2 :
Gọi $H\in {{d}_{1}},\,\,K\in {{d}_{2}}$ sao cho $HK\bot {{d}_{1}}$ .
Gọi $T$ là phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{HK}$
Gọi ${{A}_{1}}={{T}_{\overrightarrow{HK}}}\left( A \right),\,{{A}_{1}}B\cap {{d}_{2}}=N,\,\,M\in {{d}_{1}}$ với $MN\bot {{d}_{1}}$
$AM+MN+NB$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow AM+NB$ nhỏ nhất ($MN$ không đổi)
$AM+NB={{A}_{1}}N+NB\ge {{A}_{1}}B$
Dấu $”=”$ xảy ra khi $N={{A}_{1}}B\cap {{d}_{2}}$
Lấy ${{A}_{1}}\left( 1;1 \right)$, điểm $N$ cần tìm là giao điểm của ${{A}_{1}}B$ và trục hoành.
Gọi $N\left( {{x}_{0}};0 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{A}_{1}}N}=\left( {{x}_{0}}-1;-1 \right),\,\overrightarrow{{{A}_{1}}B}=\left( 2;-5 \right)$
Vì $\overrightarrow{{{A}_{1}}N}$ và $\overrightarrow{{{A}_{1}}B}$ cùng phương nên $\frac{{{x}_{0}}-1}{2}=\frac{-1}{-5}\Rightarrow {{x}_{0}}=\frac{7}{5}\Rightarrow N\left( \frac{7}{5};0 \right)$và $M\left( \frac{7}{5};2 \right)$.
