by Trong mặt phẳng phức, cho số phức \(z\) có điểm biểu diễn là \(N.\) Biết rằng số phức \(w = \frac{1}{z}\) được biểu diễn bởi một trong bốn điểm \(M,P,Q,R\) như hình vẽ bên. Hỏi điểm biểu diễn của \(w\) là điểm nào?
A. \(P.\)
B. \(Q.\)
C. \(R.\)
D. \(M.\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
Tính \(\frac{1}{z}\) để tìm được tọa độ điểm biểu diễn số phức \(\frac{1}{z}\)
Đánh giá hoành độ và tung độ để xác định xem điểm cần tìm thuộc góc phần tư nào, từ đó chọn đáp án.
Lời giải chi tiết:
Gọi số phức \(z = a + bi \,\,\left( {a;b \in \mathbb{R}} \right)\) thì điểm \(N\left( {a;b} \right)\)
Khi đó số phức \(\frac{1}{z} = \frac{1}{{a + bi}} = \frac{{a – bi}}{{\left( {a + bi} \right)\left( {a – bi} \right)}} = \frac{{a – bi}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{a}{{{a^2} + {b^2}}} – \frac{b}{{{a^2} + {b^2}}}.i\)
Nên điểm biểu diễn số phức \(\frac{1}{z}\) có tọa độ \(\left( {\frac{a}{{{a^2} + {b^2}}}; – \frac{b}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)\)
Vì điểm \(N\left( {a;b} \right)\) thuộc góc phần tư thứ \(\left( {IV} \right)\) tức là \(a > 0;b < 0\) suy ra \(\frac{a}{{{a^2} + {b^2}}} > 0;\, – \frac{b}{{{a^2} + {b^2}}} > 0\) nên điểm biểu diễn số phức \(\frac{1}{z}\) thuộc góc phần tư thứ \(\left( I \right)\). Từ hình vẽ chỉ có điểm \(M\) thỏa mãn.
Chọn D.
