by Trong mặt phẳng \(Oxy\), gọi \(A,\,\,B\) lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức \(1 + 2i\) và \( – 2 + i\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Tam giác \(OAB\) tù.
B. Tam giác \(OAB\) đều.
C. Tam giác \(OAB\) vuông và không cân.
D. Tam giác \(OAB\) vuông cân.
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
– Điểm biểu diễn của số phức \(z = a + bi,\,\,a,b \in \mathbb{R}\) là \(M\left( {a;b} \right)\).
– Tính độ dài đoạn thẳng \(OA,\,\,OB\), sử dụng công thức: \(OA = \sqrt {{{\left( {{x_A} – {x_O}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} – {y_O}} \right)}^2} + {{\left( {{z_A} – {z_O}} \right)}^2}} \).
– Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} \) để kiểm tra xem \(OA \bot OB\) hay không?
– Dựa vào các đáp án để kết luận.
Lời giải chi tiết:
Do \(A,\,\,B\) lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức \(1 + 2i\) và \( – 2 + i\) \( \Rightarrow A\left( {1;2} \right),\,\,B\left( { – 2;1} \right)\). \(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OA} = \left( {1;2} \right),\,\,\overrightarrow {OB} = \left( { – 2;1} \right)\\ \Rightarrow OA = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 \\\,\,\,\,\,\,OB = \sqrt {{{\left( { – 2} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 5 \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OA = OB = \sqrt 5 \\\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 1.\left( { – 2} \right) + 2.1 = 0 \Rightarrow OA \bot OB\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy tam giác \(OAB\) vuông cân tại \(O\).
Chọn D.
