: Tính tổng ${{\left( C_{n}^{0} \right)}^{2}}+{{\left( C_{n}^{1} \right)}^{2}}+{{\left( C_{n}^{2} \right)}^{2}}+…+{{\left( C_{n}^{n} \right)}^{2}}$
C. $C_{2n}^{n}$
B. $C_{2n}^{n-1}$
C. $2C_{2n}^{n}$
D. $C_{2n-1}^{n-1}$
Hướng dẫn
Chọn A
Ta có:${{\left( x+1 \right)}^{n}}{{\left( 1+x \right)}^{n}}={{\left( x+1 \right)}^{2n}}$.
Vế trái của hệ thức trên chính là:
$\left( C_{n}^{0}{{x}^{n}}+C_{n}^{1}{{x}^{n-1}}+…+C_{n}^{n} \right)\left( C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+…+C_{n}^{n}{{x}^{n}} \right)$
Và ta thấy hệ số của ${{x}^{n}}$ trong vế trái là
${{\left( C_{n}^{0} \right)}^{2}}+{{\left( C_{n}^{1} \right)}^{2}}+{{\left( C_{n}^{2} \right)}^{2}}+…+{{\left( C_{n}^{n} \right)}^{2}}$
Còn hệ số của ${{x}^{n}}$ trong vế phải ${{\left( x+1 \right)}^{2n}}$ là $C_{2n}^{n}$
Do đó ${{\left( C_{n}^{0} \right)}^{2}}+{{\left( C_{n}^{1} \right)}^{2}}+{{\left( C_{n}^{2} \right)}^{2}}+…+{{\left( C_{n}^{n} \right)}^{2}}=C_{2n}^{n}$