by Tính tích phân \(I=\int\limits_{1}^{2}{\ln \left( 1+x \right)\,\text{d}x}.\)
A. \(I=3\ln 3+2\ln 2-1.\)
B. \(I=3\ln 3-2\ln 2+1.\)
C. \(I=\ln \frac{27}{4}.\)
D. \(I=\ln \frac{27}{4}-1.\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp từng phần hoặc máy tính casio để tính tích phân
Lời giải chi tiết:
Đặt\(\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln \left( {1 + x} \right)\\
{\rm{d}}v = {\rm{d}}x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\rm{d}}u = \frac{{{\rm{d}}x}}{{x + 1}}\\
v = x
\end{array} \right.,\) khi đó \(I=\left. x.\ln \left( 1+x \right) \right|_{1}^{2}-\int\limits_{1}^{2}{\frac{x\text{d}x}{x+1}}=2.\ln 3-\ln 2-\int\limits_{1}^{2}{\frac{x}{x+1}\text{d}x}.\)
Ta có \(\int\limits_{1}^{2}{\frac{x}{x+1}\text{d}x}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{x+1-1}{x+1}\text{d}x}=\int\limits_{1}^{2}{\left( 1-\frac{1}{x+1} \right)\text{d}x}=\left. \left( x-\ln \left| x+1 \right| \right) \right|_{1}^{2}=2-\ln 3-1+\ln 2=1+\ln 2-\ln 3\)
Vậy \(I=2.\ln 3-\ln 2-\left( 1+\ln 2-\ln 3 \right)=3.\ln 3-2.\ln 2-1=\ln \frac{27}{4}-1.\)
Chọn D.
