by Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{x + {m^2}}}{{x – 1}}\) trên đoạn \(\left[ {2;3} \right]\) bằng \(11\).
A. \(m = 3\)
B. \(m = \sqrt {19} \)
C. \(m = \pm 3\)
D. \(m = \pm \sqrt {19} \)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên \(\left[ {2;3} \right]\) để tìm giá trị lớn nhất của hàm số.
Thay giá trị lớn nhất của hàm số để tìm \(m\).
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Suy ra hàm số đã cho xác định là liên tục trên đoạn \(\left[ {2;3} \right]\).
Ta có :
\(\begin{array}{l}y = f\left( x \right) = \frac{{x + {m^2}}}{{x – 1}}\\ \Rightarrow f’\left( x \right) = \frac{{1\left( {x – 1} \right) – 1.\left( {x + {m^2}} \right)}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} = \frac{{ – \left( {{m^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D\end{array}\)
Suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định hay hàm số nghịch biến trên đoạn \(\left[ {2;3} \right]\).
Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow 11 = \frac{{2 + {m^2}}}{{2 – 1}} \Leftrightarrow {m^2} = 9 \Leftrightarrow m = \pm 3\).
Chọn C.
