Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} – {x^2} – 3x + m\) có hai điểm cực trị cách đều đường thẳng \(x + 3y + 1 = 0\).

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} – {x^2} – 3x + m\) có hai điểm cực trị cách đều đường thẳng \(x + 3y + 1 = 0\).

A. \(m = 3\)

B. \(m = \pm 3\)

C. \(m = – 3\)

D. Không có \(m\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là A

Phương pháp giải:

– Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị \(A,B\).

– Trung điểm \(I\) của đoạn \(AB\) thuộc đường thẳng \(x + 3y + 1 = 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y’ = {x^2} – 2x – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1 \Rightarrow y = \frac{5}{3} + m\\x = 3 \Rightarrow y = – 9 + m\end{array} \right.\)

Tọa độ hai điểm cực trị là \(A\left( { – 1;\frac{5}{3} + m} \right),B\left( {3; – 9 + m} \right)\)

Trung điểm của đoạn\(AB\) là \(I\left( {1; – \frac{{11}}{3} + m} \right)\)

Từ yêu cầu đề bài suy ra \(I \in d:x + 3y + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow 1 – 11 + 3m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = 3\)

Chọn A.