by Tìm số các giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc khoảng \(\left( { – 2019;2020} \right)\) để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + {x^2} + mx – 1\) nằm bên phải trục tung.
A. 2020
B. 2019
C. 2017
D. 2018
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
– Tìm điều kiện để phương trình \(y’ = 0\) có ít nhất 1 nghiệm dương.
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y’ = 3{x^2} + 2x + m\).
Để hàm số có cực tiểu thì phương trình \(y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 2x + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
\( \Rightarrow \Delta ‘ > 0 \Leftrightarrow 1 – 3m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{3}\).
Do hệ số \(a = 1 > 0\) nên đồ thị hàm số có điểm cực tiểu nằm bên phải trục tung khi và chỉ khi phương trình \(y’ = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt hoặc có hai nghiệm trái dấu.
TH1: Phương trình \(y’ = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ – 2}}{3} > 0\\m > 0\end{array} \right.\) (Vô nghiệm).
TH2: Phương trình \(y’ = 0\) có hai nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow ac < 0 \Leftrightarrow m < 0\).
Kết hợp điều kiện \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in \left( { – 2019;0} \right)\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ { – 2018; – 2017;…; – 1} \right\}\).
Vậy có 2018 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn D.
