by Tìm \(m\) để đường thẳng \(y=mx+1\) cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{x+1}{x-1}\) tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị.
A. \(m\in \left( -\frac{1}{4};+\infty \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\).
B. \(m\in \left( 0;+\infty \right)\).
C. \(m\in \left( -\infty ;0 \right)\).
D. \(m=0\).
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
Viết phương trình hoành độ giao điểm, biện luận tính chất nghiệm và áp dụng hệ thức Viet tìm tham số
Lời giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm là:
\(mx + 1 = \frac{{x + 1}}{{x – 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 1\\
\left( {mx + 1} \right)\left( {x – 1} \right) = x + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 1\\
f\left( x \right) = m{x^2} – mx – 2 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)
\end{array} \right.\)
Theo hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{-2}{m} \\ \end{align} \right..\)
Đường thẳng \(y=mx+1\) cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{x+1}{x-1}\) tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị \(\Leftrightarrow \)\(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}}\), \({{x}_{2}}\) khác \(1\) thỏa mãn \(\left( {{x}_{1}}-1 \right)\left( {{x}_{2}}-1 \right)<0\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
\Delta = {m^2} + 8m > 0\\
f\left( 1 \right) \ne 0\\
{x_1}{x_2} – \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 0\\
m < – 8
\end{array} \right.\\
m{.1^2} – m.1 – 2 \ne 0\\
– \frac{2}{m} – 1 + 1 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > 0\\
m < – 8
\end{array} \right.\\
m \in \\
\frac{2}{m} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0\)
Chọn B
