by Tìm \(m\) để đồ thị hàm số \(y = 2{x^3} – 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 6mx + {m^3}\) có hai điểm cực trị \(A,\,B\) sao cho \(AB = \sqrt 2 .\)
A. \(m = 2.\)
B. \(m = 0.\)
C. \(m = 1.\)
D. \(m = 0\) hoặc \(m = 2.\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
Giải phương trình \(y’ = 0\) tìm tọa độ hai điểm \(A,B\)
Từ đó sử dụng \(AB = \sqrt 2 \) để tìm \(m.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \(y’ = 6{x^2} – 6\left( {m + 1} \right)x + 6m = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} – \left( {m + 1} \right)x + m = 0\)
Có \(\Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} – 4m = {\left( {m – 1} \right)^2}\)
Để hàm số có hai cực trị thì \(\Delta > 0 \Leftrightarrow \) \({\left( {m – 1} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 1\)
Hoành độ hai điểm cực trị: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{m + 1 + m – 1}}{2} = m \Rightarrow y = 3{m^2}\\{x_2} = \frac{{m + 1 – m + 1}}{2} = 1 \Rightarrow y = {m^3} + 3m – 1\end{array} \right.\)
Từ đó ta có: \(A\left( {m;3{m^2}} \right),B\left( {1;{m^3} + 3m – 1} \right)\)
\(AB = \sqrt 2 \Leftrightarrow A{B^2} = 2\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {m – 1} \right)^2} + {\left( {{m^3} – 3{m^2} + 3m – 1} \right)^2} = 2\\ \Leftrightarrow {\left( {m – 1} \right)^2} + {\left( {m – 1} \right)^6} = 2\end{array}\)
Đặt \({\left( {m – 1} \right)^2} = t \ge 0 \Rightarrow {t^3} + t – 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow m – 1 = 1 \Rightarrow m = 2\)
Chọn A.
