Tìm họ nguyên hàm \(I = \int {x\sqrt {1 – 2x} dx} .\)

Tìm họ nguyên hàm \(I = \int {x\sqrt {1 – 2x} dx} .\)

A. \(I = \frac{{\sqrt {{{\left( {1 – 2x} \right)}^5}} }}{{20}} – \frac{{\sqrt {{{\left( {1 – 2x} \right)}^3}} }}{{16}} + C.\)

B. \(I = \frac{{\left( {3x + 1} \right)\sqrt {{{\left( {1 – 2x} \right)}^3}} }}{{15}} + C.\)

C. \(I = \frac{{\sqrt {{{\left( {1 – 2x} \right)}^5}} }}{{10}} – \frac{{\sqrt {{{\left( {1 – 2x} \right)}^3}} }}{6}.\)

D. \(I = \frac{{\left( {3x + 1} \right)\sqrt {{{\left( {1 – 2x} \right)}^3}} }}{{15}} + C.\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là C

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến để làm bài.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(I = \int {x\sqrt {1 – 2x} dx} .\)

Đặt \(t = \sqrt {1 – 2x} \Rightarrow {t^2} = 1 – 2x \Rightarrow 2tdt = – 2dx \Rightarrow dx = – tdt.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow x = \frac{{1 – {t^2}}}{2}.\\ \Rightarrow I = – \int {\frac{{1 – {t^2}}}{2}.{t^2}dt} = \frac{1}{2}\int {\left( {{t^4} – {t^2}} \right)dt} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{t^5}}}{5} – \frac{{{t^3}}}{3}} \right) + C\\ = \frac{{{t^5}}}{{10}} – \frac{{{t^3}}}{6} + C = \frac{{\sqrt {{{\left( {1 – 2x} \right)}^5}} }}{{10}} – \frac{{\sqrt {{{\left( {1 – 2x} \right)}^3}} }}{6} + C.\end{array}\)

Chọn C.