: Tìm hệ số của số hạng chứa ${{x}^{26}}$trong khai triển nhị thức Newton của ${{\left( \frac{1}{{{x}^{4}}}+{{x}^{7}} \right)}^{n}}$, biết $C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{2}+…+C_{2n+1}^{n}={{2}^{20}}-1$.

: Tìm hệ số của số hạng chứa ${{x}^{26}}$trong khai triển nhị thức Newton của ${{\left( \frac{1}{{{x}^{4}}}+{{x}^{7}} \right)}^{n}}$, biết $C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{2}+…+C_{2n+1}^{n}={{2}^{20}}-1$.

C. 210

B. 213

C. 414

D. 213

Hướng dẫn

Chọn A

Do $C_{2n+1}^{k}=C_{2n+1}^{2n+1-k}\text{ }\forall k=0,1,2,…,2n+1$

$\Rightarrow C_{2n+1}^{0}+C_{2n+1}^{1}+…+C_{2n+1}^{n}=C_{2n+1}^{n+1}+C_{2n+1}^{n+2}+…+C_{2n+1}^{2n+1}$

Mặt khác: $C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{2}+…+C_{2n+1}^{2n+1}={{2}^{2n+1}}$

$\Rightarrow 2(C_{2n+1}^{0}+C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{2}+…+C_{2n+1}^{n})={{2}^{2n+1}}$

$\Rightarrow C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{2}+…+C_{2n+1}^{n}={{2}^{2n}}-C_{2n+1}^{0}={{2}^{2n}}-1$

$\Rightarrow {{2}^{2n}}-1={{2}^{20}}-1\Rightarrow n=10$.

Khi đó: ${{\left( \frac{1}{{{x}^{4}}}+{{x}^{7}} \right)}^{10}}={{\left( {{x}^{-4}}+{{x}^{7}} \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{({{x}^{-4}})}^{10-k}}.{{x}^{7k}}}$$=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{x}^{11k-40}}}$

Hệ số chứa ${{x}^{26}}$ ứng với giá trị $k:$ $11k-40=26\Rightarrow k=6$.

Vậy hệ số chứa ${{x}^{26}}$ là: .