Tập nghiệm của phương trình \({z^4} – 2{z^3} – {z^2} – 2z + 1 = 0\) là :

Tập nghiệm của phương trình \({z^4} – 2{z^3} – {z^2} – 2z + 1 = 0\) là :

A. \(\left\{ {\frac{{1 \pm i\sqrt 3 }}{2};\frac{{ – 3 \pm \sqrt 5 }}{2}} \right\}\)

B. \(\left\{ {\frac{{ – 1 \pm i\sqrt 3 }}{2};\frac{{ – 3 \pm \sqrt 5 }}{2}} \right\}\)

C. \(\left\{ {\frac{{1 \pm i\sqrt 3 }}{2};\frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}} \right\}\)

D. \(\left\{ {\frac{{ – 1 \pm i\sqrt 3 }}{2};\frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}} \right\}\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là D

Lời giải chi tiết:

\({z^4} – 2{z^3} – {z^2} – 2z + 1 = 0\)

Vì \(z{\text{ }} = {\text{ }}0\) không là nghiệm của phương trình nên chia cả 2 vế của phương trình cho \({z^2} \ne 0\) , ta được:

\({z^2} – 2{\text{z}} – 1 – \frac{2}{z} + \frac{1}{{{z^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^2} + \frac{1}{{{z^2}}}} \right) – 2\left( {z + \frac{1}{z}} \right) – 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {z + \frac{1}{z}} \right)^2} – 2\left( {z + \frac{1}{z}} \right) – 3 = 0\)

Đặt \(t = z + \frac{1}{z}\) phương trình trở thành:

\({t^2} – 2t – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = – 1\\t = 3\end{array} \right.\)

+) Với \(t = – 1 \Leftrightarrow z + \frac{1}{z} = – 1 \Leftrightarrow {z^2} + z + 1 = 0 \Rightarrow z = \frac{{ – 1 \pm i\sqrt 3 }}{2}\)

+) Với \(t = 3 \Leftrightarrow z + \frac{1}{z} = 3 \Leftrightarrow {z^2} – 3z + 1 = 0 \Rightarrow z = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(\left\{ {\frac{{ – 1 \pm i\sqrt 3 }}{2};\frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}} \right\}\)

Chọn D