by Mạch điện AB gồm đoạn AM nối tiếp với MB. Đặt vào hai đầu mạch AB hiệu điện thế $u=150\sqrt{2}c\text{os}100\pi t$ (V). Điện áp ở hai đầu đoạn mạch AM sớm pha hơn cường độ dòng điện một góc $\frac{\pi }{6}$. Đoạn mạch MB chỉ có tụ điện có điện dung C thay đổi được. Điều chỉnh C để tổng điện áp hiệu dụng (U$_{AM}$ + U$_{MB}$) đạt giá trị cực đại. Hỏi khi đó điện áp hiệu dụng ở hai đầu tụ điện là bao nhiêu?
A. 150 V
B. $75\sqrt{3}$V
C. $75\sqrt{2}$V
D. 200 V
Hướng dẫn
$tan{{\varphi }_{AM}}=\frac{{{Z}_{L}}}{R}=tan\frac{\pi }{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}$Z$_{L}$ = $\frac{R}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow $Z$_{AM}$ = $\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}$=$\frac{2R}{\sqrt{3}}$ (*)
Đặt Y = (U$_{AM}$ + U$_{MB}$)$^{2}$$_{. }$
Tổng (U$_{AM}$ + U$_{MB}$) đạt giá trị cực đại khi Y đạt giá trị cực đại
Y = (U$_{AM}$ + U$_{MB}$)$^{2}$ = I$^{2}$(Z$_{AM}$ +Z$_{C}$)$^{2}$ = $\frac{{{U}^{2}}{{({{Z}_{AM}}+{{Z}_{C}})}^{2}}}{{{R}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}$=$\frac{{{U}^{2}}{{({{Z}_{AM}}+{{Z}_{C}})}^{2}}}{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}+Z_{C}^{2}-2{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}}$
Để Y = Y$_{max}$ thì đạo hàm của Y theo (Z$_{C}$) Y’ = 0
$\Leftrightarrow $ (${{R}^{2}}+Z_{L}^{2}+Z_{C}^{2}-2{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}$)2(Z$_{AM}$ + Z$_{C}$) – (Z$_{AM}$ + Z$_{C}$)$^{2}$ 2(Z$_{C}$ – Z$_{L}$) = 0.
Do (Z$_{AM}$ + Z$_{C}$) ≠ 0 nên (${{R}^{2}}+Z_{L}^{2}+Z_{C}^{2}-2{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}$) – (Z$_{AM}$ + Z$_{C}$)(Z$_{C}$ – Z$_{L}$) = 0
$\Leftrightarrow $(Z$_{AM}$ + Z$_{L}$)Z$_{C}$ = R$^{2}$ + Z$_{L}$$^{2}$ + Z$_{AM}$Z$_{L}$ (**).
Thay (*) vào (**) ta được Z$_{C}$ =$\frac{2R}{\sqrt{3}}$ (***)
Z$^{2}$ = ${{R}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}$
$\Leftrightarrow $ Z = $\frac{2R}{\sqrt{3}}$ (****)
Ta thấy Z$_{AM}$ = Z$_{MB}$ = Z$_{AB }$nên U$_{MB}$ = U$_{C}$ = U$_{AB }$= 150 (V).
