Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x – 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) trên khoảng \(\left( { – 1; + \infty } \right)\) là:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x – 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) trên khoảng \(\left( { – 1; + \infty } \right)\) là:

A. \(2\ln \left( {x + 1} \right) + \frac{2}{{x + 1}} + C\)

B. \(2\ln \left( {x + 1} \right) + \frac{3}{{x + 1}} + C\)

C. \(2\ln \left( {x + 1} \right) – \frac{2}{{x + 1}} + C\)

D. \(2\ln \left( {x + 1} \right) – \frac{3}{{x + 1}} + C\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là B

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số hữu tỉ với mẫu số có nghiệm kép.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}I = \int {\frac{{2x – 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} = \int {\frac{{2\left( {x + 1} \right) – 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} = \int {\frac{2}{{x + 1}}dx – } \int {\frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} \\\,\,\,\, = 2\ln \left| {x + 1} \right| + \frac{3}{{x + 1}} + C = 2\ln \left( {x + 1} \right) + \frac{3}{{x + 1}} + C\,\,\,\,\,\left( {do\,\,x \in \left( { – 1; + \infty } \right) \Rightarrow x + 1 > 0} \right).\end{array}\)

Chọn B.