. Hệ số của số hạng chứa ${{x}^{10}}$ trong khai triển nhị thức ${{\left( x+2 \right)}^{n}}$ biết $n$ là số nguyên dương thỏa mãn ${{3}^{n}}C_{n}^{0}-{{3}^{n-1}}C_{n}^{1}+{{3}^{n-2}}C_{n}^{2}-…+{{\left( -1 \right)}^{n}}C_{n}^{n}=2048.$

.

Hệ số của số hạng chứa ${{x}^{10}}$ trong khai triển nhị thức ${{\left( x+2 \right)}^{n}}$ biết $n$ là số nguyên dương thỏa mãn ${{3}^{n}}C_{n}^{0}-{{3}^{n-1}}C_{n}^{1}+{{3}^{n-2}}C_{n}^{2}-…+{{\left( -1 \right)}^{n}}C_{n}^{n}=2048.$

C. $22{{x}^{10}}$.

B. $123{{x}^{10}}$.

C. $123$.

D. $22$.

Hướng dẫn

Đáp án D.

Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có: ${{3}^{n}}C_{n}^{0}-{{3}^{n-1}}C_{n}^{1}+{{3}^{n-2}}C_{n}^{2}-…+{{\left( -1 \right)}^{n}}C_{n}^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{{3}^{n-k}}C_{n}^{k}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}}{{3}^{n-k}}={{\left( -1+3 \right)}^{n}}={{2}^{n}}.$

Do đó ${{2}^{n}}=2048={{2}^{11}}\Leftrightarrow n=11$. Như vậy ta có${{\left( x+2 \right)}^{n}}={{\left( x+2 \right)}^{11}}=\sum\limits_{k=0}^{11}{C_{11}^{k}{{x}^{k}}{{2}^{11-k}}}$, suy ra hệ số của ${{x}^{10}}$ ứng với $k=10$và đó là số $C_{11}^{10}.2=22$