by Gọi \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} – 2z + 3 = 0.\) Mệnh đềnào dưới đây sai?
A. \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\)
B. \({z_1}{z_2} = 3\)
C. \({z_1} + {z_2} = 2\)
D. \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
Giải phương trình đã cho trên tập số phức sau đó thay các nghiệm \({z_1},\,\,{z_2}\) vào các đáp án và chọn đáp án đúng.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({z^2} – 2z + 3 = 0\) \( \Leftrightarrow {z^2} – 2z + 1 = – 2\)
\( \Leftrightarrow {\left( {z – 1} \right)^2} = 2i\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z – 1 = \sqrt 2 i\\z – 1 = – \sqrt 2 i\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 1 + \sqrt 2 i\\{z_2} = 1 – \sqrt 2 i\end{array} \right.\)
Khi đó ta có:
\( + )\,\,\left| {{z_1}} \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 3 \) và \(\left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { – \sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 3 \) \( \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt 3 \)
\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.
\( + )\,\,{z_1}{z_2} = \left( {1 + \sqrt 2 i} \right)\left( {1 – \sqrt 2 i} \right)\) \( = 1 – 2{i^2} = 1 + 2 = 3\)\( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.
\( + )\,\,{z_1} + {z_2} = 1 + \sqrt 2 i + 1 – \sqrt 2 i = 2\) \( \Rightarrow \) Đáp án C đúng.
\( + )\,\,\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt 3 + \sqrt 3 \) \( = 2\sqrt 3 \ne 2\)\( \Rightarrow \) Đáp án D sai.
Chọn D
