Gọi \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} + 4z + 5 = 0\). Đặt \(w = {\left( {1 + {z_1}} \right)^{100}} + {\left( {1 + {z_2}} \right)^{100}}\). Khi đó

Gọi \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} + 4z + 5 = 0\). Đặt \(w = {\left( {1 + {z_1}} \right)^{100}} + {\left( {1 + {z_2}} \right)^{100}}\). Khi đó

A. \(w = {2^{50}}i\).

B. \(w = – {2^{51}}\).

C. \(w = {2^{51}}\)

D. \(w = – {2^{50}}i\).

Hướng dẫn

Chọn đáp án là B

Phương pháp giải:

+) Giải phương trình tìm \({z_1};\,\,{z_2}\).

+) Thay \({z_1};\,\,{z_2}\) vào tính \(w\).

Lời giải chi tiết:

\({z^2} + 4z + 5 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} = – 2 + i\\{z_2} = – 2 – i\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}w = {\left( {1 + {z_1}} \right)^{100}} + {\left( {1 + {z_2}} \right)^{100}} = {\left( {1 – 2 + i} \right)^{100}} + {\left( {1 – 2 – i} \right)^{100}}\\\,\,\,\,\, = {\left( {i – 1} \right)^{100}} + {\left( { – 1 – i} \right)^{100}} = {\left( {i – 1} \right)^{100}} + {\left( {i + 1} \right)^{100}}\\\,\,\,\, = {\left( {{{\left( {i – 1} \right)}^2}} \right)^{50}} + {\left( {{{\left( {i + 1} \right)}^2}} \right)^{50}} = {\left( { – 2i} \right)^{50}} + {\left( {2i} \right)^{50}}\\\,\,\,\, = {2.2^{50}}.{i^{50}} = {2^{51}}.{\left( {{i^4}} \right)^{12}}.{i^2} = {2^{51}}.1.\left( { – 1} \right) = – {2^{51}}\end{array}\)

Chọn: B