by Cho số thực \(a > 2\) và gọi \({z_1},\,{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} – 2z + a = 0.\) Mệnh đề nào sau đây sai?
A. \({z_1} + {z_2}\) là số thực
B. \({z_1} – {z_2}\) là số ảo
C. \(\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} + \frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}\) là số ảo
D. \(\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} + \frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}\) là số thực
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
Xét với điều kiện của \(a > 2,\) giải phương trình bậc hai ẩn \(z.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\Delta ‘ = 1 – a.\)
\( \Rightarrow \) Với mọi \(a > 2 \Rightarrow \Delta < 0 \Rightarrow \) Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phức và hai nghiệm phức này thỏa mãn \({z_2} = \overline {{z_1}} .\)
Giả sử: \({z_1} = x + yi \Rightarrow {z_2} = x – yi.\)
\( \Rightarrow {z_1} + {z_2} = 2x \Rightarrow \) đáp án A đúng.
\({z_1} – {z_2} = 2yi \Rightarrow \) đáp án B đúng.
\(\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} + \frac{{{z_2}}}{{{z_1}}} = \frac{{z_1^2 + z_2^2}}{{{z_1}{z_2}}} = \frac{{{{\left( {x + yi} \right)}^2} + {{\left( {x – yi} \right)}^2}}}{{\left( {x + yi} \right)\left( {x – yi} \right)}} = \frac{{2{x^2} – 2{y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} \Rightarrow \) đáp án D đúng.
Chọn C.
