by Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình \({x^3} – 3{x^2} – {m^3} + 3{m^2} = 0\) có ba nghiệm phân biệt. Tổng tất cả các phần tử của T bằng
A. \(1\)
B. \(5\)
C. \(0\)
D. \(3\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
– Phân tích vế trái của phương trình thành nhân tử.
– Từ đó tìm điều kiện của m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}{x^3} – 3{x^2} – {m^3} + 3{m^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^3} – {m^3}} \right) – 3\left( {{x^2} – {m^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x – m} \right)\left( {{x^2} + mx + {m^2}} \right)\\ – 3\left( {x – m} \right)\left( {x + m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x – m} \right)\left( {{x^2} + mx + {m^2} – 3x – 3m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x – m} \right)\left[ {{x^2} + \left( {m – 3} \right)x + {m^2} – 3m} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – m = 0\\{x^2} + \left( {m – 3} \right)x + {m^2} – 3m = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\{x^2} + \left( {m – 3} \right)x + {m^2} – 3m = 0\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Đặt \(f\left( x \right) = {x^2} + \left( {m – 3} \right)x + {m^2} – 3m\).
Để pt đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì (1) có 2 nghiệm phân biệt khác \(m\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\f\left( m \right) \ne 0\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m – 3} \right)^2} – 4\left( {{m^2} – 3m} \right) > 0\\{m^2} + \left( {m – 3} \right).m + {m^2} – 3m \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m – 3} \right)^2} – 4m\left( {m – 3} \right) > 0\\{m^2} + {m^2} – 3m + {m^2} – 3m \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m – 3} \right)\left( {m – 3 – 4m} \right) > 0\\3{m^2} – 6m \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m – 3} \right)\left( { – 3m – 3} \right) > 0\\3m\left( {m – 2} \right) \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 1 < m < 3\\m \ne 0,m \ne 2\end{array} \right.\end{array}\)
Do \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = 1\) hay \(T = \left\{ 1 \right\}\).
Vậy tổng các phần tử của T là 1.
Chọn A.
