Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}}\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) là

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}}\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) là

A. \(\mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} y = 3.\)

B. \(\mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} y = – 1.\)

C. \(\mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} y = 5.\)

D. \(\mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} y = \frac{{ – 7}}{3}.\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là A

Phương pháp giải:

Sử dụng đạo hàm rồi lập bảng biến thiên.

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}}\) có đạo hàm \(f’\left( x \right) = \frac{{\left( {2x – 1} \right)\left( {x – 1} \right) – ({x^2} – x + 1)}}{{{{(x – 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} – 2x}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\)

Ta có \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} – 2x}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

\(f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có: hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) bằng 3.

Chọn A.