by Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = \sqrt x ;\)\(y = x – 2;\)\(y = – x\) là
A. \(S = \frac{{11}}{2}.\)
B. \(S = \frac{{11}}{3}.\)
C. \(S = \frac{{13}}{2}.\)
D. \(S = \frac{{13}}{3}.\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
– Vẽ đồ thị hàm số, xác định các giao điểm.
– Chia diện tích cần tính thành các diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), \(x = a,\,\,x = b\).
– Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
Xét các phương trình hoành độ giao điểm:
\(\begin{array}{l} – x = x – 2 \Leftrightarrow x = 1\\x – 2 = \sqrt x \Leftrightarrow x = 4\end{array}\)
Ta xác định được \({x_A} = 1,\,\,{x_B} = 4\).
Diện tích hình phẳng cần tính bao gồm:
– \({S_1}\): Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x ,\,\,y = – x\), \(x = 0,\,\,x = 1\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_1} = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x – \left( { – x} \right)} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} – 0 = \frac{7}{6}\end{array}\)
– \({S_2}\): Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x ,\,\,y = x – 2\), \(x = 1,\,\,x = 4\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_1} = \int\limits_1^4 {\left( {\sqrt x – \left( {x – 2} \right)} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} – \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_1^4\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{2}{3}.8 – 8 + 8 – \frac{2}{3} + \frac{1}{2} – 2 = \frac{{19}}{6}\end{array}\)
Vậy diện tích cần tính là: \(S = {S_1} + {S_2} = \frac{7}{6} + \frac{{19}}{6} = \frac{{13}}{3}\).
Chọn D.
