by Đặt điện áp xoay chiều có tần số không đổi vào hai đầu đoạn mạch AB gồm điện trở thuần R, tụ điện C và cuộn cảm thuần L (L thay đổi được). Khi L = L0 thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm đạt cực đại và bằng ULmax. Khi L = L1 hoặc L = L2 thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm có giá trị như nhau và bằng UL. Biết rằng UL = nULmax. Tổng hệ số công suất của mạch AB khi L = L1 và L = L2 là 3.n. Hệ số công suất của mạch AB khi L = L0 có giá trị bằng?
A. \(\frac{1}{\sqrt{3}}.\)
B. \(\frac{1}{2}.\)
C. \(\frac{\sqrt{3}}{2}.\)
D. \(\frac{1}{4}.\)
Hướng dẫn
Từ \(U_{L_1} = U_{L_2} \rightarrow \frac{Z_{L_1}}{\sqrt{R^2 + (Z_{L_1}-Z_C)^2}} = \frac{Z_{L_2}}{\sqrt{R^2 + (Z_{L_2}-Z_C)^2}}\)
\(\rightarrow \frac{R^2 + (Z_{L_1} – Z_C)^2}{Z_{L_1}^{2}} = \frac{R^2 + (Z_{L_2} – Z_C)^2}{Z_{L_2}^{2}}\) \(\longleftrightarrow \frac{R^2 + Z_{C}^{2}}{Z_{L_1}^{2}} – \frac{2Z_C}{Z_{L_1}} = \frac{R^2 + Z_{C}^{2}}{Z_{L_2}^{2}} – \frac{2Z_C}{Z_{L_2}}\)
\(\rightarrow (R^2 + Z_{C}^{2})\left ( \frac{1}{Z_{L_1}^{2}} – \frac{1}{Z_{L_2}^{2}} \right ) = 2Z_C \left ( \frac{1}{Z_{L_1}} – \frac{1}{Z_{L_2}} \right )\) \(\rightarrow \frac{1}{Z_{L_1}} + \frac{1}{Z_{L_2}} = \frac{2Z_C}{R^2 + Z_{C}^{2}} = \frac{2}{Z_{L_0}}\)
\(\rightarrow \frac{2}{Z_{L_0}} = \frac{1}{Z_{L_1}} + \frac{1}{Z_{L_2}}\ (**)\)
Ta có: \(U_L = I_1Z_{L_1} = \frac{UZ_{L_1}}{Z_{1}} = \frac{UZ_{L_2}}{Z_{2}}\)
\(\frac{U_L}{U_{L\ max}} = \frac{R}{Z_1}\frac{Z_{L_1}}{\sqrt{R^2 + Z_{C}^{2}}}\cos \varphi _1 = n \rightarrow \cos \varphi _1 = \frac{n\sqrt{R^2 + Z_{C}^{2}}}{Z_{L_1}}\)
\(\frac{U_L}{U_{L\ max}} = \frac{R}{Z_2}\frac{Z_{L_2}}{\sqrt{R^2 + Z_{C}^{2}}}\cos \varphi _2 = n \rightarrow \cos \varphi _2 = \frac{n\sqrt{R^2 + Z_{C}^{2}}}{Z_{L_2}}\)
\(\cos \varphi _1 + \cos \varphi _2 = \frac{n\sqrt{R^2 + Z_{C}^{2}}}{Z_{L_1}} + \frac{n\sqrt{R^2 + Z_{C}^{2}}}{Z_{L_1}} = \sqrt{3}n\) \(\rightarrow \frac{1}{Z_{L_1}} + \frac{1}{Z_{L_2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{R^2 + Z_{C}^{2}}} \ (***)\)
\(\cos \varphi _0 = \frac{R}{Z_0} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (Z_{L_0}-Z_C)^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (\frac{R^2 + Z_{C}^{2}}{Z_C}-Z_C)^2}}\) \(= \frac{R}{\sqrt{R^2 + \frac{R^4}{Z_{C}^{2}}}} = \frac{Z_C}{\sqrt{R^2 + Z_{C}^{2}}}\)
Từ (**) và (***) \(\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{R^2 + Z_{C}^{2}}} = \frac{2}{Z_{L_0}} \rightarrow \frac{\sqrt{R^2 + Z_{C}^{2}}}{Z_{L_0}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos \varphi _0 = \frac{Z_C}{\sqrt{R^2 + Z_{C}^{2}}} = \frac{Z_C\sqrt{R^2 + Z_{C}^{2}}}{R^2 + Z_{C}^{2}} = \frac{\sqrt{R^2 + Z_{C}^{2}}}{Z_{L_0}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
