by Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {z + 2 – i} \right| = 2\sqrt 2 \) và \({\left( {z – i} \right)^2}\) là một số thực?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 0
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
– Đặt \(z = a + bi\). Thay vào biểu thức.
– Sử dụng công thức tính môđun của số phức.
– Một số phức là số thực khi và chỉ khi có phần ảo bằng 0.
– Rút a theo b hoặc ngược lại, sau đó giải phương trình tìm a, b.
Lời giải chi tiết:
Đặt \(z = a + bi\)
Ta có \(\left| {z + 2 – i} \right| = 2\sqrt 2 \Rightarrow {\left( {a + 2} \right)^2} + {\left( {b – 1} \right)^2} = 8\) (*)
Mặt khác \({\left( {z – i} \right)^2} = {\left( {a + bi – i} \right)^2} = {a^2} – {\left( {b – 1} \right)^2} + 2a\left( {b – 1} \right)\) là một số thực nên \({a^2} – {\left( {b – 1} \right)^2} = 0\)\( \Leftrightarrow {a^2} = {\left( {b – 1} \right)^2}.\)
Khi đó ta có: \({\left( {a + 2} \right)^2} + {a^2} = 8 \Leftrightarrow 2{a^2} + 4a – 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = – 1 + \sqrt 3 \\a = – 1 – \sqrt 3 \end{array} \right..\)
Vậy có 2 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn A.
