Có bao nhiêu số nguyên \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { – 100;100} \right]\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{\left( {x – m} \right)\sqrt {2x – {x^2}} }}\) có đúng 2 tiệm cận?

Có bao nhiêu số nguyên \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { – 100;100} \right]\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{\left( {x – m} \right)\sqrt {2x – {x^2}} }}\) có đúng 2 tiệm cận?

A. \(200\)

B. \(2\)

C. \(199\)

D. \(0\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là A

Phương pháp giải:

– Tìm ĐKXĐ của hàm số.

– Xác định số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số, sử dụng khái niệm: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = {y_0}\) thì đường thẳng \(y = {y_0}\) là TCN của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

– Suy ra đồ thị hàm số cần có bao nhiêu đường tiệm cận đứng ứng với bấy nhiêu nghiệm của mẫu thỏa mãn ĐKXĐ.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x – m \ne 0\\2x – {x^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne m\\0 < x < 2\end{array} \right.\).

Do đó không tồn tại giới hạn của hàm số khi \(x \to \pm \infty \), do đó đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} y = \infty \), suy ra đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng \(x = 0,\,\,x = 2\,\,\forall m\).

Suy ra để đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận thì \(m \notin \left( {0;2} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le 0\\m \ge 2\end{array} \right.\).

Kết hợp điều kiện đề bài ta có \(m \in \left[ { – 100;0} \right] \cup \left[ {2;100} \right]\), \(m\) nguyên.

Vậy có 101 + 99 = 200 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.