by Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình \(\left| {{x^3} – 3{x^2} + 2} \right| = m\) có đúng 6 nghiệm thực phân biệt.
A. \(0\)
B. \(1\)
C. \(2\)
D. Vô số
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
– Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2} + 2\).
– Từ đó vẽ đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^3} – 3{x^2} + 2} \right|\) như sau:
+ Vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2} + 2\).
+ Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới trục Ox qua trục Ox.
+ Xóa đi phần đồ thị phía dưới trục Ox.
– Dựa đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^3} – 3{x^2} + 2} \right|\) biện luận để phương trình \(\left| {{x^3} – 3{x^2} + 2} \right| = m\) có 6 nghiệm phân biệt.
Lời giải chi tiết:
Số nghiệm của phương trình \(\left| {{x^3} – 3{x^2} + 2} \right| = m\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^3} – 3{x^2} + 2} \right|\) và đường thẳng \(y = m\) song song với trục hoành.
Xét hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2} + 2\) ta có:
+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
+ \(y’ = 3{x^2} – 6x\), \(y’ = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).
+ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 2\\x = 2 \Rightarrow y = – 2\end{array} \right.\)
Ta vẽ được đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2} + 2\) như sau:
Từ đó ta vẽ được đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^3} – 3{x^2} + 2} \right|\) như sau:
(Đường màu đỏ)
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình \(\left| {{x^3} – 3{x^2} + 2} \right| = m\) có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(0 < m < 2\).
Mà m nguyên dương \( \Rightarrow m = 1\).
Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn B.
