Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để đường thẳng \(y = mx + m + 3\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 3x + 1\) tại ba điểm phân biệt?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để đường thẳng \(y = mx + m + 3\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 3x + 1\) tại ba điểm phân biệt?

A. vô số

B. \(11\)

C. \(13\)

D. \(14\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là A

Phương pháp giải:

Số giao điểm của đường thẳng \(d:\,\,\,\,y = mx + m + 3\) và đồ thị hàm số \(\left( C \right):\,\,\,y = {x^3} – 3x + 1\) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (*) của hai đồ thị.

\(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại ba điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có ba nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(d:\,\,\,\,y = mx + m + 3\) và đồ thị hàm số \(\left( C \right):\,\,\,y = {x^3} – 3x + 1\) là: \({x^3} – 3x + 1 = mx + m + 3\) \( \Leftrightarrow {x^3} – \left( {m + 3} \right)x – m – 2 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} – {x^2} – x – \left( {m + 2} \right)x – m – 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 1} \right) – x\left( {x + 1} \right) – \left( {m + 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – x – m – 2} \right) = 0\,\,\,\,\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\{x^2} – x – m – 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\g\left( x \right) = {x^2} – x – m – 2 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Số giao điểm của đường thẳng \(d:\,\,\,\,y = mx + m + 3\) và đồ thị hàm số \(\left( C \right):\,\,\,y = {x^3} – 3x + 1\) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (*) của hai đồ thị.

\( \Rightarrow \left( * \right)\) có ba nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \ne – 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\g\left( { – 1} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + 4\left( {m + 2} \right) > 0\\{\left( { – 1} \right)^2} – \left( { – 1} \right) – m – 2 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + 4m + 8 > 0\\1 + 1 – m – 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m + 9 > 0\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > – \frac{9}{4}\\m \ne 0\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Có vô số giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Chọn A.