by Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng 1, tâm trùng gốc tọa độ (hình vẽ). Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x \(\left( { – 1 \le x \le 1} \right)\)thì được thiết diện là một tam giác đều. Tính thể tích V của vật thể đó.
A. \(V = \pi \)
B. \(V = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\)
C. \(V = 3\sqrt 3 \)
D. \(V = \sqrt 3 \)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
Sử dụng ứng dụng của tích phân trong tính thể tích của khối tròn xoay
Lời giải chi tiết:
Độ dài cạnh của tam giác đều cắt trục Ox là \(a = 2.\sqrt {1 – {x^2}} \)
Diện tích tam giác đều đó là \(S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{4\left( {1 – {x^2}} \right)\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 \left( {1 – {x^2}} \right)\)
Thể tích vật thể là \(V = \int\limits_{ – 1}^1 {Sdx} = \int\limits_{ – 1}^1 {\sqrt 3 \left( {1 – {x^2}} \right)dx} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\)
Chọn B
