Cho tứ giác lồi $ABCD$ có $AB=BC=CD=a$, $\widehat{BAD}=75{}^\circ $ và $\widehat{ADC}=45{}^\circ $.Tính độ dài $AD$.

Cho tứ giác lồi $ABCD$ có $AB=BC=CD=a$, $\widehat{BAD}=75{}^\circ $ và $\widehat{ADC}=45{}^\circ $.Tính độ dài $AD$.

C. $a\sqrt{2+\sqrt{5}}$.

B. $a\sqrt{3}$.

C. $a\sqrt{2+\sqrt{3}}$.

D. $a\sqrt{5}$.

Hướng dẫn

Đáp án C.

Xét ${{T}_{\overrightarrow{BC}}}\left( A \right)={A}’.$

Khi đó $C{A}’=BA=CD\Rightarrow \Delta C{A}’D$ cân tại $C$.

$\Rightarrow \widehat{{A}’CD}={{60}^{0}}\Rightarrow \Delta C{A}’D$ đều.

$\Rightarrow \widehat{{A}’DA}={{15}^{0}}$ và $A{A}’=BC=CD={A}’D=a$

$\Rightarrow \widehat{A{A}’D}={{150}^{0}}$

Do đó $A{{D}^{2}}=2{A}'{{A}^{2}}-2{A}'{{A}^{2}}\cos A{A}’D=2{{a}^{2}}+\sqrt{3}{{a}^{2}}$ (áp dụng định lí cosin).

$\Rightarrow AD=a\sqrt{2+\sqrt{3}}$.