by : Cho tứ diện $ABCD$ và $M,N$ là các điểm thay trên các cạnh $AB,CD$ sao cho $\frac{AM}{MB}=\frac{CN}{ND}$.
a) Chứng minh $MN$ luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định.
b) Cho $\frac{AM}{MB}=\frac{CN}{ND}>0$ và $P$ là một điểm trên cạnh $AC$. thiết diện của hình chóp cắt bởi $\left( MNP \right)$là hình gì?
C. Tam giác
B. Tứ giác
C. Hình thang
D. Hình bình hành
c) Tính theo $k$ tỉ số diện tích tam giác $MNP$ và diện tích thiết diện.
C. $\frac{k}{k+1}$
B. $\frac{2k}{k+1}$
C. $\frac{1}{k}$
D. $\frac{1}{k+1}$
Hướng dẫn
a) Do $\frac{AM}{MB}=\frac{CN}{ND}$ nên theo định lí Thales thì các đường thẳng $MN,AC,BD$ cùng song song với một mặt phẳng $\left( \beta \right)$.Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua $AC$ và song song với $BD$thì $\left( \alpha \right)$ cố định và $\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)$suy ra $MN$ luôn song song với $\left( \alpha \right)$ cố định.
b) Xét trường hợp $\frac{AP}{PC}=k$, lúc này $MP\parallel BC$ nên $BC\parallel \left( MNP \right)$.
Ta có :
$\left\{ \begin{align}
& N\in \left( MNP \right)\cap \left( BCD \right) \\
& BC\parallel \left( MNP \right) \\
& BC\subset \left( BCD \right) \\
\end{align} \right.$$\Rightarrow \left( BCD \right)\cap \left( MNP \right)=NQ\parallel BC,Q\in BD$.
Thiết diện là tứ giác $MPNQ$.Xét trường hợp $\frac{AP}{PC}\ne k$
Trong $\left( ABC \right)$gọi $R=BC\cap MP$
Trong $\left( BCD \right)$ gọi $Q=NR\cap BD$ thì thiết diện là tứ giác $MPNQ$.
Gọi $K=MN\cap PQ$
Ta có $\frac{{{S}_{MNP}}}{{{S}_{MPNQ}}}=\frac{PK}{PQ}$.
Do $\frac{AM}{NB}=\frac{CN}{ND}$ nên theo định lí Thales đảo thì $AC,NM,BD$ lần lượt thuộc ba mặt phẳng song song với nhau và đường thẳng $PQ$ cắt ba mặt phẳng này tương ứng tại $P,K,Q$ nên áp dụng định lí Thales ta được $\frac{PK}{KQ}=\frac{AM}{MB}=\frac{CN}{ND}=k$$\Rightarrow \frac{PK}{PQ}=\frac{PK}{PK+KQ}=\frac{\frac{PK}{KQ}}{\frac{PK}{KQ}+1}=\frac{k}{k+1}$.
